來自太空的宇宙射線粒子不斷地將電子從大氣中的空氣分子中撞出,一旦被釋放,由於地球上已經存在的帶電粒子在大氣中產生的電場,每個電子都會受到靜電力的影響。在地球表面附近,電場的大小為 E=150 N/C,並且指向下方。當靜電力使其垂直向上移動時,當電子在鉛垂方向位移 520公尺,電子的電位能的變化 \(\Delta U\) 是多少? |
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(a) 圖中顯示了均勻電場中的兩點 \(i\) 和 \(f\)。這兩個點位於同一電場線上,並且相距 \(d\)。 通過沿所示路徑將正測試電荷 \(q_0\),沿著與場方向平行的路徑,從\(i\)移動到\(f\),請計算電位差 \(V_f - V_i\)。 (b)現在通過沿圖中所示的路徑\(icf\),將正測試電荷 \(q_0\) 從 \(i\) 移動到 \(f\),請計算電位差 \(V_f - V_i\)。 |
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點 P 位於圖中點電荷正方形的中心,請計算其電位是多少? |
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(a)右圖中,12個電子(電荷=-e)等間距固定在一個半徑為\(R\)的圓上。相對於無窮遠處\(V=0\),由於這些電子而導致圓的中心\(C\)處的電位和電場是多少? (b)如果電子沿著圓移動直到它們在 120° 弧上不均勻地間隔(如圖),那麼 \(C\) 處的電位是多少? \(C\) 處的電場如何變化? |
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現在讓我們將點電荷的電位公式應用於電偶極子,以求出圖中任意點 \(P\) 的電位。 在 \(P\) 處,正點電荷(在距離 \(r_{(+)}\) 處)建立電位 \(V_{(+)}\),負點電荷(在距離 \(r_{(-)}\) 處建立電位 \(V_{(-)}\)。 \(P\) 處的淨電位根據線性疊加原理為兩者之和:
\[V_P=V_{(+)}+V_{()} \]
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在圖中,長度為 \(L\) 的細不導電棒具有均勻線密度 \(\lambda\) 的正電荷。\(P\)點與棒的左端垂直距離 \(d\),請計算棒子上所帶的電荷在p點所建立的電位。 如圖所示,我們考慮桿的微分元素 \(dx\)。棒的這個(或任何其他)元素具有微量電荷 \(dq = \lambda dx\),該微量電荷在點 \(P\) 處產生電位 \(dV\)。點\(P\)與微量電荷的距離為 \(r = (x^2 + d^2)^{1/2}\)。將微量電荷視為點電荷,我們可以將電位 \(dV\) 寫為 \[ dV= \dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{dq}{r} = \dfrac{\lambda dx}{ (x^2 + d^2)^{1/2}} \] 由於棒上的電荷是正的,並且我們在無窮遠處取 \(V = 0\),我們知道 \(dV\) 一定是正的。積分可能難以推導。但是您可以通過微分來驗證結果: \[ \dfrac{d}{dx} \ln \left( x+(x^2+d^2)^{1/2} \right) = \dfrac{1}{(x^2+d^2) ^{1/2}} \] |
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之前在第二和第三單元的時候,我們計算了半徑為 \(R\) 的帶電塑膠圓盤中心軸上各點的電場大小,該圓盤在一個表面上具有均勻的電荷密度 \(\sigma\)。 在此,我們推導出 \(V(z)\) 的表達式,即中心軸上任意點的電位。在圖中,考慮一個由半徑為 \(R'\) 和徑向寬度為 \(dR'\) 的圓環組成的微分元素。它的電荷量為 \(dq=\sigma (2 \pi R')(dR')\),其中 \(2 \pi R )(dR) \)是環的表面積。這個帶電元素的所有部分與圓盤軸上的點 \(P\) 的距離 \(r\) 相同。 從圖中我們不難發現,可以使用點電荷的電位公式將這個環對 \(P\) 處的電位的貢獻寫為
\[dV=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{dq}{r}=\dfrac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \dfrac{\sigma (2 \pi R')( dR')}{\sqrt{z^2+R'^2}} \]
同樣,您可以通過反向微分驗證積分結果。有了電位差的函數,我們可以透過微分得到電場的函數。
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均勻帶電圓盤中心軸上任一點的電位由下式給出
\[V=\dfrac{\sigma}{2 \varepsilon_0} (\sqrt{z^2 + R^2} -z) \]
從這個表達式,導出圓盤軸上任意點的電場的公式。
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圖中顯示了三個點電荷通過未顯示的力保持在固定位置。 這個電荷系統的電位能 \(U\) 是多少? 假設 \(d = 12\) cm 並且
\[q1=+q, \quad q_2=-4q, \quad \text{and} \quad q_3 =+2q,\]
其中 \(q = 150\) nC。
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