電容
當工程師在設計一些實用的設備時，需要一些基本知識來了解這些設計設備時所需要的基本原理，物理學家就在基礎科學上為工程師提供這樣的知識，我們在這個單元中要探討的一個極為常見的例子就是電容器。電容器是一種可以儲存電能的裝置，例如在照相機中，電池通過對電容器的充電將能量儲存在閃光燈單元中。電池雖然能夠提供能量但其速率是比較緩慢的，對於閃光燈而言電池提供能量的速率不足以讓閃光燈在瞬間發光，相對地，電容器就可以達到這樣的功能。電容器一旦被充電，當閃光燈被觸發時它可以用更高的速率，提供給閃光燈能量，讓閃光燈能夠發出一陣明亮的光達到照相的目的。電容器的基本原理也被推廣到其他的設備，例如觸控螢幕，CCD照相機，有半導體的晶片當中都存在電容的基本原理。其他與電場相關的任何情況，例如氣象學家在研究地球的大氣層中的電場時將地球看成是一個巨大的電容器，該電容器通過閃電部分放電造成大氣與地球表面間的閃電。我們討論電容器的第一步是確定一個電容器可以存儲多少電荷，這個數值稱為電容值。平行導體板與電容的定義
右圖顯示了電容器的基本組成——任何形狀的兩個隔離導體。無論它們的幾何形狀如何，平坦與否，我們都稱這些導體板。最簡單的電容就是平行導體板所形成的電容器，假設平行面板的面積是A，兩板子相隔的距離d。如果我們從上面的導體板移動部分的電子放置到下面的導體板上，就可以使上導體板帶有\(+Q\)的電荷，下導體板帶有\(Q\)的電荷。我們前面的單元中討論過帶電平行板中間具有均勻的電場，電場的方向從帶正電的上電板指向帶負電的下電板，電場的方向朝下與平板垂直，電場的大小與平行板的面電荷密度\(\sigma=Q/A\)有關。同樣的在兩個電板之間存在電位差\(\Delta V=Ed\)：
\[\Delta V=Ed \\ =\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0} d \\ =\dfrac{\sigma A}{\varepsilon_0 A} d \\ = \dfrac{Q d}{\varepsilon_0 A} \\ \Rightarrow Q \\ =\left[ \dfrac{\varepsilon_0 A}{d} \right] \Delta V \]
平行板上的帶電量Q正比於兩個平行板地電位差，這個性質可以廣泛地應用在所有的電容器上。因為一個電容器的兩個導體上分別充以異性電荷，因此會造成兩個導體之間存在電場，也存在電位差，當然也就儲存的靜電位能，儲存靜電位能就是電容器的主要功能。刻畫一個電容器儲存電荷的能力，就在電荷與電位差之間的比例常數：
\[C=\dfrac{Q}{\Delta V} \quad \text{在沒有混淆的情況下電位差用V來表示：} C=\dfrac{Q}{V}\]
常數\(C\)越大，表示在給定的電位差之下，可以儲存的電荷就越多，儲存電能的能力就越大。所以我們把這一個比例常數定義為電容器的電容值(capacitance)。以上述的平行板電容而言電容值\(C=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\)，對於不同類型的電容器，電容值的公式也不同。電容的大小與電容的尺寸、幾何形狀和材料有關，我們在下面會逐一介紹。就平行板電容器而言，電容值正比於平行板的面積與平行板之間的距離成反比。根據電容值的定義我們電容的SI單位是庫倫除以伏特(C/V=F)這個單位我們又稱為法拉(F, Farad)，為了紀念法拉第在電磁學上的貢獻，電容的單位以法拉第為名。請注意在我們日常的應用中法拉是一個非常大的電容單位，通常我們會使用1 pF =10 -12F的單位來描述一般電容器的電容值。pF=picofarad； 1 \(\mu\)F=\(10^{-6}\) F=microfarad。在右圖上(a)，我們顯示一個標準對電容充電的方法，就是使用一個電池和一個開關。當線路接好了以後，將開關連通電池就會對電容器開始充電，電容器上的電荷會從0增加到飽和電荷。當兩個導體具有飽和電荷\(+q, \, -q\)的時候，兩個平行板之間的電位差就是電池兩端的電位差\(\Delta V= \mathscr{E}\)，其中\(\mathscr{E}\)=電池的電動勢。整個線路的裝置可以畫成右圖下(b)的電路圖，圖中我們可以看見用一個平行板的符號來代表一個電容器。在我們下面的課程中會經常需要對電容、電阻、電池網路畫圖，在這種電路圖中電容器這個元件就以一個平行板的符號代表這個元件的位置和電容值的大小。
同軸圓柱體電容
一個長度為 \(L\) 的圓柱形電容器，由兩個半徑為 \(a\) 和 \(b\) 的同軸圓柱體組成。 我們假設 \(L \gg b\) 以便我們可以忽略圓柱體末端產生的電場邊緣外擴。內圓柱體帶 \(+q\) 的電荷，外圓柱體帶 \(-q\) 的電荷。了要計算這個電容的電容值，我們必須要算出電位差，而電位差是電場的路徑積分，所以首先我們要利用高斯定律來推導電場的公式。從圓柱體的頂視圖中我們看見外殼導體和內層導體內殼層導體之間的電場的方向是由軸心向外輻射與圓柱面垂直，因此我們選擇一個長度為 \(L\) 和半徑為 r 的與導體圓柱體共軸心的圓柱面作為高斯曲面，如圖橘色的圓所示。圓柱高斯面的電通量計算與帶電直線的計算類似，在上蓋和下蓋的部分因為電場與蓋子圓面的法線方向垂直，因此上下兩個蓋子沒有電通量的貢獻。曲面的部分法線和電場平行，因此直接把電場成上曲面面積就是高斯面的電通量。因此我們得到同軸圓柱體的電場公式與帶電直線的公式一樣： \[E=\dfrac{q}{2\pi \varepsilon_0 L r}\]
圓柱體內部的電場的大小也是與距離的一次方反比，在對電場沿著半徑朝外的方向積分就可以得到兩個導體之間的電位差：
\[\Delta V = \dfrac{q}{2\pi \varepsilon_0 L} \ln \dfrac{b}{a} \]
最後根據電容的定義將帶電量除以電位差，得到電容的公式：
\[C=\dfrac{Q}{\Delta V}=2 \pi \varepsilon_0 \dfrac{L}{\ln (b/a)} .\]
同心導體球電容
上圖也可視為兩個同心的導體球，內球的半徑是\(a\)，外球的半徑是\(b\), (\(b \gt a \))，我們要計算這個同心導體球的電容。原則上電容值應該只跟這個電容幾何結構的參數有關，與內外球所帶的電量無關，但是為了計算出電容值，我們假設在內球帶有正q的總電量，外球帶有負q的總電量，我們利用高斯定律可以先計算出在兩導體球之間的電場大小。透過電位差所需要的電場路徑積分，可以計算出兩球之間的電位差。我們知道內球的電位一定高於外球的電位，計算的公式如下： \[ 高斯定律： E(4 \pi r^2)=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E=\dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \] \[兩球之間的電位差： \Delta V=\int_b^a \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} dr= \dfrac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}(1/a -1/b) \] 根據電容的定義我們可以得到這個同心導體球的電容公式 \[C=\dfrac{Q}{\Delta V}=4 \pi \varepsilon_0 \left( \dfrac{ab}{b-a} \right) \] 假設這是兩個非常大的同心球，內外徑之間的差異很小：(\(b -a=d \ll a ) \)，上述的公式可以近似如下： \[C \approx \dfrac{\varepsilon_0(4 \pi a^2)}{d}=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d} \] 這個結果等同於平行電板的電容。單一導體球的電容
如果我們把上面的討論中的外導體球的半徑趨近於無窮大(\(b \rightarrow \infty \) )，在有限的空間中就只有一個單一一個導體球，半徑為\(a\)，在這個情況下電容的公式會變成： \[C=4 \pi \varepsilon_0 \left( \dfrac{ab}{b} \right)=4 \pi \varepsilon_0 a\] 這個公式就是一個導體球的電容值，電容值的大小只與球的半徑有關，與球的半徑成正比，球越大電容值就越大。電容並聯與串聯
我們在中學時代都學過電流網路當中關於電阻的串聯和並聯，知道怎麼樣計算串聯電阻和並聯電阻的等效電阻，同樣的，幾個電容連結在一起，可以用並聯和串聯的組合。首先我們來考慮電容的並聯。我們來考慮3個平行板的電容器，如果我們把三個電容的一端接在電池的正端，三個電容的另外一端都接在電池的負電端，如圖所示。電池將會對這3個電容充電，從電池所流出的電荷總量等於3個電容上的電荷值的總和，並且因為三個電容是並聯，因此三個電容的電位差都是電池兩端的電位差。根據電容的定義我們可以寫下下面三個與電容相關的方程式：
\[Q_1=C_1 V; \quad Q_2=C_2 V; \quad Q_3=C_3 V; \quad \]
將這三個電荷加在一起，我們可以很快的證明，等效的電容值就是三個電容的電容值的總和：
\[Q=Q_1+Q_2+Q_3=(C_1 + C_2 + C_3) V \]
\[\Rightarrow C_{eq}=C_1 + C_2 + C_3 \]
結論：電容並聯的等效電容值是各分立電容的電容值之和。關於這個結論我們可以從下面的討論來理解。我們3個電容為三個平行板所構成的電容，當我們把3個電容的一面連結在一起的時候等同於將電容的面積增大，平行板之間的距離沒有改變，因此等效電容等於是將面積加倍而距離不變的電容，因此根據平行板電容的公式：
\[C_{eq}=\dfrac{\varepsilon_0 (A_1 + A_2 + A_3)}{d}=\dfrac{\varepsilon_0 A_1}{d}+\dfrac{\varepsilon_0 A_2}{d}+\dfrac{\varepsilon_0 A_3}{d}=C_1 + C_2 + C_3 \]
等效電容值就隨著面積加大而變大。相對的如果我們將三個電容串聯在一起，再以一個電池來充電的時候，無論3個電容值的大小如何，三個電容上的電荷都完全相同，因此我們也會得到下面3個等式： \[V_1=\dfrac{Q}{C_1}; V_2=\dfrac{Q}{C_2}; V_3=\dfrac{Q}{C_3}\] 因為是串聯因此三個電容各自的電位差相加之後會等於電池的電位差： \[V=V_1 + V_2 + V_3=Q \left[\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\dfrac{1}{C_3} \right] \] 因此我們可以得到串聯的等效電容值： \[\dfrac{V}{Q}=\dfrac{1}{C_{eq}}=\left[\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\dfrac{1}{C_3} \right] \] 三個電容串聯的等效電容的電容值與各分立電容的電容值之間的關係是倒數相加的關係，類似於電阻的並聯的相關計算等效電阻計算。關於這個結果我們也可以很快的在定性上理解。把兩個電容用一條電線把電容串聯相接的時候，這連接的這兩面電容板必然具有等量的異性電荷，因此相當於將兩個電容緊貼在一起，接觸面的導體忽略不計，就得到一個電容，相當於將板子的距離加大，考慮的三個串聯的電容則距離變得更大，因此電容串聯的時候等同於將平行板之間的距離放大，因此等效電容會下降。
求解電容網路
就像電組網路一樣我們可以考慮多個電容和多個電池連接成一個網路，電池對電容充電使得每一個電容上都有若干電荷，我們可以利用電容的基本定義和上面所討論關於多個電容串聯與並聯的等效電容，來計算每一個電容上的電荷量和電位差，也就是要求解一個電容網路。
在右圖中
一個48伏特的電池連接了4個電容，我們的目的是要計算出，當系統達到平衡的時候，在4個電容上的電荷量各為多少。首先我們從\(C_2, C_3\)這兩個並聯電容得到其等效電容值為兩個電容的和\(C_{23}=C_2+C_3=4\, \mu\)F。接著就是\(C_1, C_{23}, C_4\)三個電容的串聯，可以得到整體的等效電容值為
\[C_{eq}=\dfrac{1}{1/6 + 1/4 + 1/12}=\dfrac{1}{6/12}=2 \,\mu \text{F}\]
因此可以計算出從電池總共輸出了多少電荷\(Q\)
\[Q=C_{eq} V=2(48)=96 \,\mu \text{C}\]
\(C_1, C_4\)與電池串聯，所以兩個電容上的電荷量與電池輸出的總電量相等:\(Q_1=Q_4=Q=96\,\mu \text{C}\)。\(Q_2,Q_3\)的電荷量總合也是\(Q\)，因為兩者兩端電壓相同(\(Q_2/C_2=V_2 =V_3=Q_3/C_3\))，所以電荷量與電容值成正比，因此我們可以得到各電容上的總電量分別如下：
\[Q_1=96\,\mu \text{C}\]
\[Q_2=24\,\mu \text{C}\]
\[Q_3=72\,\mu \text{C}\]
\[Q_4=96\,\mu \text{C}\]
example:等效電容之計算
介電質
在我們上面的討論中，任何一個電容的兩個導體，因為帶有異性電荷而在之間建立電場，並且儲存靜電位能。導體間的空間是真空的，因此我們在所有公式中都會用到一個真空介電常數\(\varepsilon_0\)來計算電容的電容值。現在我們考慮在這中間的區域放入一些絕緣的材料，假設這個材料是有電偶極所組成。當電偶極放置在電場中，電偶極的方向會受到電場的影響而指向電場的方向。電偶極本身所產生的電場由正電指相負電，與電偶極的方向相反。因此電偶極的電場與電容兩個帶電板所產生的電場方向相反，因此兩個導體之間的電場會被電偶極削弱，電場被削弱的比例我們用一個介電常數來刻畫電偶極的效應。
這種具有電偶極的材料我們稱呼為介電質。對一個具有介電質材料的電容而言，其電容值也會發生改變，我們先定性地討論介電質對電容值大小的影響。假設我們有一個孤立的電容，電容的兩個導體帶有\(+q\)和\(-q\)的電量，現在我們將一個介電質插入兩個導體之間，假設介電質完全充滿這個空間，電偶極使平行板中間的電場下降，兩平行板的電位差也隨之下降。但是電荷是孤立的沒有流失，因此根據電容的定義：
\[C'=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{Q}{V/\kappa} \Rightarrow C'=\kappa C\]
電位差地下降，造成電容值變大，電容值變大的比例\(\kappa\)就是這個介電質的介電常數，這個數並沒有單位(介電常數,\(\kappa\)=相對電容率，\(\varepsilon_{\text{r}}=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_0}\))。在右側的表格當中，我們陳列了常見物質的介電常數和介電強度。關於介電質的極化的基本原理(電子極化、原子極化、取向極化)可以參考維基百科的內容：介電質(wiki)
在電磁學裏，介電質響應外電場的施加而電極化的衡量，稱為電容率。在非真空中由於介電質被電極化，在物質內部的總電場會減小。電容率關係到介電質傳輸（或容許）電場的能力。電容率衡量電場怎樣影響介電質，怎樣被介電質影響。電容率又稱為「絕對電容率」。電位移(\(\mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E} +\mathbf{P}; \quad \mathbf{P}=材料的電極化強度\))與電場的關係方程式為
\[\mathbf{D} =\varepsilon \mathbf{E}; \]
其中，\( \varepsilon \) 是電容率。對於線性介質，電容率與真空電容率的比率，稱為相對電容率，\(\varepsilon_{\text{r}}\)：
\[ \varepsilon_{\text{r}}=\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}\]
請注意，這公式只有在靜止的、零頻率的狀況才成立。
對於各向異性材料，相對電容率是個張量；對於各向同性材料，相對電容率是個標量。對於線性介電質，電極化強度\( \mathbf{P}\)與電場\(\mathbf{E}\)成正比： \[\mathbf{P} =\chi_{\text{e}} \varepsilon_{0}\mathbf{E}\] 將這方程式代入電位移的定義式，可以得到電位移與電場的關係式： \[\mathbf{D} =(1+\chi_{\text{e}})\varepsilon_{0}\mathbf{E}\] 所以，電容率與電極化率的關係式為 \[ \varepsilon =(1+\chi_{\text{e}})\varepsilon_{0}\] 在一般的應用上我們會把相對電容率叫做介電常數\(\kappa\) \[\kappa=\varepsilon_{\text{r}}=(1+\chi_{\text{e}}); \quad C'=\kappa C; E'=E/\kappa; V'=V/\kappa\] \(\kappa\)稱為介電常數(dielectric constant)，這個數並沒有單位。
介電質(wiki)
對於各向異性材料，相對電容率是個張量；對於各向同性材料，相對電容率是個標量。對於線性介電質，電極化強度\( \mathbf{P}\)與電場\(\mathbf{E}\)成正比： \[\mathbf{P} =\chi_{\text{e}} \varepsilon_{0}\mathbf{E}\] 將這方程式代入電位移的定義式，可以得到電位移與電場的關係式： \[\mathbf{D} =(1+\chi_{\text{e}})\varepsilon_{0}\mathbf{E}\] 所以，電容率與電極化率的關係式為 \[ \varepsilon =(1+\chi_{\text{e}})\varepsilon_{0}\] 在一般的應用上我們會把相對電容率叫做介電常數\(\kappa\) \[\kappa=\varepsilon_{\text{r}}=(1+\chi_{\text{e}}); \quad C'=\kappa C; E'=E/\kappa; V'=V/\kappa\] \(\kappa\)稱為介電常數(dielectric constant)，這個數並沒有單位。
介電質(wiki)
範例-1：同心球電容，同軸電纜電容
同心球電容
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同軸電纜電容
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範例-2：電容金屬片帶電荷的厚度
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In the figure, switch S is closed to connect the uncharged capacitor of capacitance \(C = 0.25 \mu\)F to the battery of potential difference \(V = 12\) V. The lower capacitor plate has thickness \(L = 0.50\) cm and face area \(A = 2.0 \times 10^{-4}\) m2, and it consists of copper, in which the density of conduction electrons is \(n = 8.49 \times 10^{28}\) electrons/m3. From what depth \(d\) within the plate (figure) must electrons move to the plate face as the capacitor becomes charged? 圖中，開關S閉合，將電容\(C = 0.25\mu\)F的未充電電容器連接到電位差\(V = 12\)V的電池。下電容器板的厚度\(L = 0.50\) cm 面面積\(A = 2.0 \times 10^{-4}\) m2，由銅組成，其中傳導電子的密度為\(n = 8.49 \times 10^{28}\) 個電子/m3。 當電容器充電時，電子必須從板（圖）內的什麼深度 \(d\) 移動到板面？ |
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範例-3：等效電容的計算
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(a) Find the equivalent capacitance for the combination of capacitances shown in the figure, across which potential difference \(V\) is applied. Assume
\[C_1 =12.0 \mu\text{F}, \, C_1 =5.3 \mu\text{F},\, \text{and} \, C_1 =4.5 \mu\text{F}.\]
(b) The potential difference applied to the input terminals in the figure is \(V= 12.5\) V. What is the charge on \(C_1\)? (a) 求圖中所示電容組合的等效電容，在其上施加電位差 \(V\)。 認為 \[C_1 =12.0 \mu\text{F}, \, C_1 =5.3 \mu\text{F},\, \text{and} \, C_1 =4.5 \mu\text{F}.\] (b) 圖中輸入端的電位差為\(V= 12.5\) V。\(C_1\) 上的電荷是多少？ |
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範例-4：電荷重新分佈
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Capacitor 1, with \(C1=3.55 \, \mu\)F, is charged to a potential difference \(V+0=6.30\) V, using a 6.30 V battery. The battery is then removed, and the capacitor is connected as in the figure to an uncharged capacitor 2, with \(C_2=8.95 \, \mu\)F. When switch S is closed, charge flows between the capacitors. Find the charge on each capacitor when equilibrium is reached. \(C1=3.55\,\mu\)F 的電容器 1 使用 6.30 V 電池充電至電位差 \(V+0=6.30\) V。 然後取出電池，如圖所示將電容器連接到未充電的電容器 2，其中 \(C_2=8.95 \, \mu\)F。 當開關 S 閉合時，電荷在電容器之間流動。 當達到平衡時，找出每個電容器上的電荷。 |
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範例-6
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An isolated conducting sphere whose radius \(R\) is 6.85 cm has a charge \(q = 1.25\) nC. (a) How much potential energy is stored in the electric field of this charged conductor? (b) What is the energy density at the surface of the sphere? 半徑 \(R\) 為 6.85 cm 的孤立導電球體具有電荷 \(q = 1.25\) nC。 (a) 這個帶電導體的電場中儲存了多少勢能？ (b) 球體表面的能量密度是多少？ |
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範例-7
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A parallel-plate capacitor whose capacitance \(C\) is 13.5 pF is charged by a battery to a potential difference \(V = 12.5\) V between its plates. The charging battery is now disconnected, and a porcelain slab ((\kappa=6.50\)) is slipped between the plates. (a) What is the potential energy of the capacitor before the slab is inserted? (b) What is the potential energy of the capacitorslab device after the slab is inserted? 電容 \(C\) 為 13.5 pF 的平行板電容器由電池充電至其極板之間的電位差 \(V = 12.5\) V。 充電電池現在已斷開，一塊瓷板 ((\kappa=6.50\)) 在板之間滑動。 (a) 插入平板之前電容器的勢能是多少？ (b) 板片插入後，電容器板裝置的勢能是多少？ |
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範例-8
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授課教師
陳永忠 ycchen@thu.edu.tw