電流
電流的例子比比皆是，涉及許多專業。 氣象學家關心閃電和穿過大氣層的電荷緩慢流動。 從事醫療技術工作的生物學家、生理學家和工程師關注控制肌肉的神經電流，尤其是脊髓損傷後如何重建這些電流。 電機工程師關心無數的電機系統，例如電力系統、防雷系統、信息存儲系統和音樂系統。 太空工程師監測和研究來自太陽的帶電粒子流，因為這種流可能會摧毀軌道上的電信系統，甚至是地面上的電力傳輸系統。 在本單元中，我們將討論電流的基本物理學以及為什麼它們可以在某些材料中傳導而在其他材料中不成立。我們從電流的定義開始。電流
金屬銅是一種良好的導體。當銅原子彼此結合，形成金屬銅的時候，每一個銅原子最外層的一個價電子被釋放出來，留下一個帶單位正電的離子。在銅金屬內，正離子在其平衡位置附近振動，而被釋放出的價電子可在金屬內部自由移動，這便是所謂的導電電子。在一立方公分的金屬銅內，導電電子的數目約為\(n=0.5 \times 10^{22}\)個，也就是粒子數的密度為\(n=8.5 \times 10^{28}\) 1/m3，這是一個很大的數字。常溫時，這些導電電子在金屬銅的內部移動，當撞到表面時被反射而改變運動方向，接近一個正離子的時候，受到庫倫力的作用也會改變其運動方向。這種運動模式很像裝在容器內的氣體分子一樣，分子的速度是一個分佈函數，所以這些導電電子的移動速度較大，有些較小，其平均值在常溫時約為\(1.6 \times 10^6\) m/s，這也是一個很大的數字。可以想見，這些為數眾多，運動又快的導電電子，在金屬銅的內部以折線的軌跡，四處移動。因此，在沒有外加電場的情況下，在任何一段時間\(\Delta t\)內，從左向右移動通過截面A，如圖所示，與從右向左移動通過截面A的電子數目相等，因此電流為零。 但是當一條銅線的兩端有電位差的時候，導電電子受到電場的作用，其運動軌跡會略有改變，基本上外加電場，使導電電子在電場的反方向獲得一個正比於外加電場的速度，這個速度稱為漂移速度，通常以符號\(v_d\)表示。這時導電電子依然以快速在導線內流竄，但長時間看會以\(v_d\)的速度，向電場的反方向移動，有關金屬的導電機制，我們在下面還會再討論。假設截面積B與截面A的距離\(v_d \Delta t\)，那麼在某時刻在兩個截面間的導電電子數目為\(n A (v_d \Delta t)\)，A為導線的截面積。這些電子將在\(\Delta t\)的時間內通過截面，所以平均電流為 \[\bar{I}=\dfrac{1}{\Delta t} [n A v_d (-e) (\Delta t)]= -n e v_d A\] \(-e\)是電子的電荷，而\(v_d\)與電場方向相反，所以在上面的公式中必須取負值，整體公式通的電流就為正值，表示電流的流向平行於電場，這和習慣上與正電荷的移動方向，代表電流的速度方向是一致的。\(n(-e)\)是導電電子的電荷密度，可以用\(\rho=n(-e)\)表示，而 \[J=\dfrac{J}{A}=\rho v_d=-n e v_d \] \(J\)稱為電流密度，代表單位時間內通過單位截面積的電荷量，電流密度的單位可用C/m2.s表示，也可用A/m2表示。事實上，我們可以用一個向量表示此電流密度， \[\vec{J}=n e \vec{v}_d\] 對導線中的導電電子而言，電流密度的方向平行於電場方向。
電流可以在金屬導體的內部形成，也可在其他的導電介質和特殊情況下形成。電視機的映像管，基本上是一種陰極射線管。陰極射線管的內部抽成真空，而由電子槍射出電子，經過聚焦之後，又經過加速電壓加速形成電子束。一個電子束也是一種電流，但此時和電流大小有關的速度是電子的移動速度。一個燒杯內若裝有電解質溶液，再放入兩個電極接到一個乾電池，那麼溶液中的負離子游向正極，正離子游向負極，於是在正負電極之間電有電流形成。這些可以在電場中自由移動的帶電粒子，稱為載流子。電流同時可以有數種載流子，其電流密度一般可以表示為 \[\vec{J}=n_1 q_1 \vec{v}_1 + n_2 q_2 \vec{v}_2 + n_3 q_3 \vec{v}_3 + \cdots \] \(q_1,\, q_2\)表示載流子的電荷，\(n_1, \, n_2\)表示載流子的密度，\(v_1, \, v_2\)表示載流子的速度。
例題
金屬銅的質量密度約為9.0 g/cm3，銅的原子量為63.5 g。請計算1立方公分內導電電子的數目。每一個銅原子釋出一個導電電，因此導電電子的粒子數密度就是銅原子的粒子數密度。體積1 cm3的銅的質量 \[m=9 \times 1 =9 \, text{g}\] 9 g的銅的莫耳數 \[\dfrac{9}{63.5}=0.142 \, moles\] \[N=0.142 \times 6.02 \times 10^{23}=8.5 \times 10^{22}\]
一條銅線截面積為1平方毫米，承載10安培的電流。求(a)電流密度，(b)導電電子的漂移速度。 電流密度 \[J=\dfrac{I}{A}=\dfrac{10}{(10^{-3})^2}=10^5 \, \text{A/m}^2 \] 漂移速度 \[v_d=\dfrac{J}{n e}=\dfrac{10^5}{(8.5 \times 10^{28})(1.6 \times 10^{-19})}=7.4 \times 10^{-4} \,\text{m/s}\] 以此速度移動一個導電電子，從一條10公尺長的銅線的一端，移動到另一端，約需3.6小時。然而當我們按下電源開關，鎢絲燈幾乎同時就亮了，這是因為在接通電源後，電場是以近乎真空中的光速沿著導線傳播的緣故。
電阻與歐姆定律
當一條金屬導線的兩端分別接到一直流電池的正負兩極時，導線上的電流I與導線兩端的電位差成正比，如圖所示。也就是 \[ V= I R\] 比例常數\(R\)稱為這條導線的電阻。電阻的單位為伏特/安培，稱為歐姆(Ohm, \(\Omega\))。電流與電位差成正比關係的導體，稱為歐姆導體或線性導體。白熾燈的電流與電位差的關係如圖所示的曲線關係，這表示電流與電位差之間並不遵守歐姆定律，故白熾燈並非一種歐姆導體。二極體的IV曲線，如圖所示，也是一種非歐姆導體。電流密度與導體內載流子漂移速度有線性關係存在，因此若漂移速度和電場成正比(\(v_d \propto E\))，那麼\(J\)就正比於\(E\)，(\(J \propto E\))。而\(E\)在導線內又正比於電位差\(V\)，(\(E \propto V\))，所以電流I就正比於電位差V，所以歐姆定律的另一種表示方式： \[\vec{J}=\dfrac{1}{\rho} \vec{E}\] 常數\(\rho\)，稱為此歐姆導體的電阻係數或稱為電阻率(resistivity)。電阻率的倒數稱為電導係數，也稱為導電係數(conductivity)。通常以符號\(\sigma\)表示(\(\sigma=\dfrac{1}{\rho}\))，所以歐姆定律的另一種表示方法為 \[ \vec{J}=\sigma \vec{E}\] 電阻率的單位是歐姆.公尺，\(\omega \cdot m\)。一個歐姆導體的電阻值\(R\)和導體的幾何尺寸與形狀有關，但電阻率則是指物質的一種特性，其值與導體的大小，形狀等幾何因素無關。例題
內半徑為\(a\)，外半徑為\(b\)，長度\(l\)(\(l \gg a,b\))的圓柱形導體，如圖所示。已知其電阻率為\(\rho\)。求(a)兩端面間的電阻，(b)兩圓柱面間的電阻。(a)當我們用銅線將電池的正負極分別接到圓柱體的兩個端面時，若此導體的電阻率大，則任何一個端面上各點的電位可能不相等，也就是端面並非一個等位面，那麼導體內的電流分佈將會很複雜。遇到這種情況，假如我們先將兩個端面鍍金或塗上銀漆這類的良好導體，那麼兩個端面可視為等位面。若此，導體內電場一可視為均勻且其方向平行於圓柱軸，而電流密度\(J\)正比於\(E\)也會均勻，且平行於圓柱軸。電流I可以寫成 \[I=JA=\left( \right) [\pi (b^2 - a^2)] = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{V}{l} [\pi (b^2 - a^2) ] 或電阻 \[R=\dfrac{V}{I}=\rho \dfrac{l}{\pi (b^2 - a^2)} \] (b)當我們把內外圓柱面分別接到電池的正負極，若兩個圓柱面可以視為等位面，例如將內圓柱面接至正極，外圓柱面接至負極，則導體內的電場是在徑向由內圓柱面指向外圓柱面，而電流密度也是如此，如圖所示。電流穩定時，通過任一半徑\(r\)，長度\(\)的圓柱面的電流均相等，以\(I\)表示： \[I=J(2\pi r l)\] \[J=\dfrac{I}{2 \pi r l} \] 所以電流密度並不均勻，越靠近圓內圓柱面則其值越大: \[E=\rho J=\dfrac{\rho I}{2 \pi r l}\] 內、外兩個圓柱面間的電位差必為 \[V=\int_a^b E dr = \dfrac{\rho I}{2 \pi l} \int_A^b \dfrac{dr}{r} =\left[ \dfrac{\rho}{2 \pi l} \ln(b/a) \right] I \] 電阻R \[R=\rho \dfrac{\ln(b/a)}{2 \pi l} \]
歐姆導體的溫度效應
金屬導體的電阻率\(\rho\)隨溫度之升高而增加，如圖所示。若只考慮一個不大的溫度範圍，那麼\(\rho\)和溫度\(T\)之間的關係，可用下面的線性關係表示之： \[ \rho(T)=\rho_0 [ 1+ \alpha (T-T_0) ] \] \(\rho(T)\)表溫度時的電阻率，\(\rho_0\)表溫度為參考溫度\(T_0\)時的電阻率，而\(\alpha\)稱為電阻率的溫度係數。右表列出一些金屬物質在室溫附近的電阻率和溫度係數。一個導電物質的電阻率會隨溫度而改變，因此導體的電阻一般也會隨溫度而改變。一個金屬導體的電阻通常隨溫度的升高而變大，但在一個小的溫度範圍內，電阻與溫度間的關係可以近似用下面的線性關係表示之 \[R(T)=R_0 [ 1 + \alpha (T-T_0)] \] 上式中\(R(T)\)為溫度\(T\)時的電阻，\(R_0\)為參考溫度\(T_0\)時的電阻值，而\(\alpha\)為電阻率\(\rho\)的溫度係數。電功率
讓我們考慮圖所示的簡單電路。當電流穩定時，導線內有一均勻的電場\(\vec{E}\)，其方向沿導線由b指向a。電流I由b流向a，而導電電子則由a端流向b端。導電電子進入a端後，其漂移速度為\(v_d\)，在離開b時，漂移速度仍然是\(v_d\)。導電電子從a端移至b端的過程中，電場\(E\)對其做功，那麼這個工又哪裡去了呢？導電電子在金屬導體中，因為和正電離子發生非彈性碰撞，因此電場所做的功就直接轉移成為正離子的振動能量，使正離子的平均震動能量增加，導致導體的溫度升高，這就是電流的熱效應或稱為焦耳效應。而所產生的熱稱為焦耳熱。假設在\(\Delta t\)的時間內，共有\(\Delta Q=I(\Delta t) \)的導電電子通過此導體，那麼電場總共做功\(\Delta W= (\Delta Q) V_{ab}\)，\(V_{ab}\)為導線兩端的電位差，所以 \[ \dfrac{\Delta W}{\Delta t}=\left( \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} \right) V_{ab}=IV_{ab}\] \(\dfrac{\Delta W}{\Delta t}\)代表電場在單位時間內所做的功，也就是功率\(P\) \[P=I V_{ab}\] 若此導體的導電遵守歐姆定律，那麼\(V_{ab}=IR\)， \[P=I (IR)=I^2 R=\dfrac{V_{ab}^2}{R}\] 兩個公式中的\(P\)即為導體內通有電流時的焦耳熱功率。電功率\(P\)的單位為瓦特(Watt,W)，1瓦特等於1焦耳/秒，1 W= 1 J/s。
電流的熱效應在日常生活，工業與科學的研究上有許多正面應用，例如開飲機，電熱器，電烤箱，白熱燈等等皆是。但電流的熱效應對許多使用電流的儀器或裝置而言，卻也有負面的效應。例如電源供應器不管其電功率大小，都有焦耳熱的散熱問題必須處理。常用的散熱方法有自然冷卻，強迫式對流冷卻，水冷卻。對於電子儀器的外殼開有許多小洞和條狀開口，其目的即是讓產生的熱能以輻射，自然對流的方式發射。加裝散熱片可以達到相同的目的。有時在會發熱的機件旁邊加裝一個風扇，就是一種強迫的對流冷卻，但對大電功率的儀器設備而言，最有效的散熱方式是採用水冷卻。
例題：鎳鉻線的發熱功率
鎳鉻線是一種鎳、鐵、鉻的合金製成的導線，因為具有高的電阻率(\(\rho=100 \times 10^6 \, \Omega\cdot \text{cm}\))以及低的電阻率溫度係數(\(\alpha=0.0004 \,\, ^{\circ}C^{-1} \)，常被作為電熱線之用。現在想設計一條截面積為2.5平方毫米的鎳鉻線電熱線，希望通以10 安培的電流時，可以產生400瓦的焦耳熱。請問這個鎳鉻線所需的長度為何？所需的長度\(l\)，其電阻值 \[R=\rho \dfrac{l}{A}=\dfrac{100 \times 10^{-8} \cdot l}{2.5 \times 10^{-6}}=\dfrac{l}{2.5} \] 焦耳熱功率\(P=I^2 R=10^2\)， \(\dfrac{l}{2.5}=400 \, W\) \[l=10 \, \text{m}\]
金屬的導電機制
金屬導線內的導電電子在其運動過程中，若沒有能量消耗消散的機制，那麼它的漂移速度將隨著他的位移的增加而增加，形成一股很大的電流。但事實上，導電電子的漂移速度很小，這乃是因為它在運動過程中和正離子發生非彈性碰撞，將從外加電場所獲得的動量與動能，轉移給正離子，增大了這些正離子的振動能量，促成通有電流的金屬導體其溫度升高，這便是金屬的電阻與焦耳熱的基本機制。最簡單的金屬導電機制是建立在一個古典模型上：假想導電電子類似容器內的氣體分子，除非撞擊導體的外壁或是和正離子發生非彈性碰撞，應該可以在導體內部自由飛行。這些遭遇都會造成電子運動方向以及動量的改變，這種微觀模型稱為自由電子氣體模型(free electron model)。相鄰兩次碰撞的時間間隔，稱為自由時間，其平均值稱為平均自由時間(mean free time)，通常以符號\(\tau\)表示。相鄰兩次碰撞時間電子所走的路程稱為自由路徑，而其平均值稱為平均自由路徑(mean free path)，以符號\(l\)表示。平均自由路程\(l\)與平均碰撞時間\(\tau\)有下列的關係存在， \[l =\bar{v} \tau \] 上式中，\(\bar{v}\)是導電電子其熱運動速率的平均值，而非漂移速率。這個古典的（相對於量子的）電子氣體模型，假設導電電子在金屬內的運動，遵守牛頓的第二運動定律。當金屬內有外加電場時，導電電子受到\(-eE\)的電力作用，其加速度為 \[\vec{a}=-\frac{e}{m} \vec{E} \] \(m\)為電子的質量。這個模型也假設電場對推導電電子的有效加速時間為平均碰撞時間，換句話說，相當於假設電子在經歷了一次和正離子的碰撞之後，即完全喪失之前曾被電場加速的記憶。因此導電電子從外加電場所獲得的漂移速度為 \[\bar{v}_d = \tau \vec{a}= - \dfrac{e \tau}{m} \vec{E}\] 因此電流密度為 \[ J=n (-e) \vec{v}_d = \dfrac{n e^2 \tau}{m} \vec{E} \] 上式符合歐姆定律的形式。因此，這個簡單的微觀模型可以導出金屬的歐姆定律，並得到金屬的導電係數\(\sigma\)為 \[ \sigma=\dfrac{n e^2 \tau}{m} \] 上式預測：當金屬的導電電子密度越大，則其導電係數越大，同時上式也預測當平均碰撞時間越長，則導電係數越大。電阻率\(\rho\)係導電電阻率導電係數的倒數 \[\rho= \dfrac{1}{\sigma}=\dfrac{m}{n e^2 \tau} \] 所以，換個角度看當導電電子濃度越大，或平均碰撞時間越長時，電阻率越小。溫度較高時，因為正離子的平均振動的振幅較大，導電電子和正離子發生非彈性碰撞的機率較高，促使平均自由時間較短，因此電阻率較大，所以金屬的電阻會隨溫度升高而增加。反之，在很低溫時，\(\tau\)較長，所以\(\rho\)較小，電阻也較小。上面這個簡單的模型至少能定性的解釋金屬的導電機制。
例題：銅的平均自由路程
常溫時，金屬銅內的導電電子的平均平均熱運動速率\(\bar{v}\)約為\(1.6 \times 10^6\) m/s，導電電子的粒子數密度約為\(8.5 \times 10^{28} 1/m^3\)，而經由實驗測得的電阻率為\(\rho=1.7 \times 10^{-8} \, \Omega \cdot m\)。請計算導電電子的(a)平均碰撞時間\(\tau\)和(b)平均自由路程\(l\)。平均碰撞時間 \[\tau=\dfrac{m}{n e^2 \rho}=\dfrac{9.1 \times 10^{-31}}{(8.5 \times 10^{28})(1.6 \times 10^{-19})(1.7 \times 10^{-8})}=2.5 \times 10^{-14} \, \text{s}\] 這個時間很短，而其倒數為\(4 \times 10^{13}\) 次/秒，也就是平均碰撞頻率。 計算平均自由路程 \[l=\bar{v} \tau =(1.6 \times 10^6)(2.5 \times 10^{-14}=4.0 \times 10^{-8}\] 從日常生活中的尺度看這個距離固然是非常小，但在金屬銅之內，最相鄰的兩個銅離子之間的距離為2.56 A，因此，平均而言，導電電子從大約150個銅離子旁邊自由飛翔，而過之後才會和銅離子發生一次非彈性碰撞，因此從導電電子的觀點看，這個平均自由路程還是相當長的。當溫度降低，電阻率隨著下降，這個平均自由路程還會變得更長。
HL26示例問題-1:電流的基本定義應用
Water flows through a garden hose at a volume flow rate \(dV/dt\) of 450 cm3/s. What is the current of negative charge?
水以 450 cm3/s 的體積流速 \(dV/dt\) 流過花園軟管。 負電荷的電流是多少？
水以 450 cm3/s 的體積流速 \(dV/dt\) 流過花園軟管。 負電荷的電流是多少？
負電荷電流 i 是由於水分子中的電子在軟管中移動。 電流是負電荷通過任何完全穿過軟管的平面的速率。我們可以將電流寫成每秒通過這樣一個平面的分子數 \[i=\text{（每個電子的電荷）（每個分子的電子數）（每秒的分子數）} \] 每個分子有10個電子，因為水分子 (H2O) 在單個氧原子中包含 8 個電子，在兩個氫原子中每個包含 1 個電子。\(8+2=10\) \[i=(e)(10)(\dfrac{dN}{dt})\] \[M=VD; \quad N=\dfrac{M}{m_w}N_A; \quad i=q_w \left( \dfrac{dN}{dt} \right); \quad q_w=10e;\, m_w=18 \,\text{g/mole} \] \[i=(10e) \left( \dfrac{dN}{dt} \right)=\dfrac{(10e)D(dV/dt)N_A}{m_w}\] \[i=\dfrac{(10)(1.6 \times 10^{-19})(1.0 \times 10^3)(450 \times 10^{-6}) (6.02 \times 10^{23})}{18 \times 10^{-3}} \\ =2.41 \times 10^7 \, \text{A}\]
水以 450 cm3/s 的體積流速 \(dV/dt\) 流過花園軟管。 負電荷的電流是多少？
水以 450 cm3/s 的體積流速 \(dV/dt\) 流過花園軟管。 負電荷的電流是多少？
負電荷電流 i 是由於水分子中的電子在軟管中移動。 電流是負電荷通過任何完全穿過軟管的平面的速率。我們可以將電流寫成每秒通過這樣一個平面的分子數 \[i=\text{（每個電子的電荷）（每個分子的電子數）（每秒的分子數）} \] 每個分子有10個電子，因為水分子 (H2O) 在單個氧原子中包含 8 個電子，在兩個氫原子中每個包含 1 個電子。\(8+2=10\) \[i=(e)(10)(\dfrac{dN}{dt})\] \[M=VD; \quad N=\dfrac{M}{m_w}N_A; \quad i=q_w \left( \dfrac{dN}{dt} \right); \quad q_w=10e;\, m_w=18 \,\text{g/mole} \] \[i=(10e) \left( \dfrac{dN}{dt} \right)=\dfrac{(10e)D(dV/dt)N_A}{m_w}\] \[i=\dfrac{(10)(1.6 \times 10^{-19})(1.0 \times 10^3)(450 \times 10^{-6}) (6.02 \times 10^{23})}{18 \times 10^{-3}} \\ =2.41 \times 10^7 \, \text{A}\]
HL26示例問題-2:電容金屬片帶電荷的厚度
(a) The current density in a cylindrical wire of radius \(R = 2.0\) mm is uniform across a cross section of the wire and is \(J = 2.0 \times 10^5\) A/m2. What is the current through the outer portion of the wire between radial distances \(R/2\) and \(R\) (figure (a))? (b) Suppose, instead, that the current density through a cross section varies with radial distance \(r\) as \(J = ar^2\), in which \(a = 3.0 \times 10^{11}\) A/m4 and \(r\) is in meters. What now is the current through the same outer portion of the wire? (a)半徑為 \(R = 2.0\) mm 的圓柱形導線中的電流密度在導線的橫截面上是均勻的，\(J = 2.0 \times 10^5\) A/m2 。 在徑向距離 \(R/2\) 和 \(R\) 之間通過導線外部的電流是多少（圖 (a)）？ (b) 相反，假設通過橫截面的電流密度隨徑向距離 \(r\) 變化為 \(J = ar^2\)，其中 \(a = 3.0 \times 10^{11}\) A/m4 和 \(r\) 以米為單位。 現在通過電線的同一外部部分的電流是多少？
\[A'=\pi R^2 - \pi \left(\dfrac{R}{2}\right)^2=\pi \left(\dfrac{3R^2}{4}\right)\ \\ =\dfrac{3\pi}{4}(0.002)^2=9.424 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \] \[i=JA'=(2.0 \times 10^5)(9.424 \times 10^{-6})=1.9 \, \text{A} \]
\[\vec{J} \cdot d\vec{A}=JdA\] \[i=\int \vec{J} \cdot d\vec{A}=\int JdA \\ =\int_{R/2}^{R} \, ar^2 (2\pi r dr)=2\pi a \int_{R/2}^{R} \, r^3 \,dr \\ 2\pi a \left[ \dfrac{r^4}{4} \right]_{R/2}^R = \dfrac{\pi a}{2} \left[ R^4 - \dfrac{R^4}{16} \right] = \dfrac{15}{32} \pi a R^4 \\ =\dfrac{15}{32} \pi (3.0 \times 10^{11})(0.002)^4=7.1 \, \text{A}.\]
HL26示例問題-3：漂移速度的計算
What is the drift speed of the conduction electrons in a copper wire with radius \(r = 900 \, \mu\)m when it has a uniform current \(i = 17\) mA? Assume that each copper atom contributes one conduction electron to the current and that the current density is uniform across the wire's cross section.
半徑為 \(r = 900 \, \mu\)m 的銅線在均勻電流 \(i = 17\) mA 時，傳導電子的漂移速度是多少？ 假設每個銅原子對電流貢獻一個傳導電子，並且電流密度在導線的橫截面上是均勻的。
\[n=\dfrac{N}{V}=\dfrac{\dfrac{M_0}{M} N_A}{V}=\dfrac{N_A \rho_{mass}}{M}\] \[ n=\dfrac{(6.02 \times 10^{23})(8.96 \times 10^3)}{63.54 \times 10^{-3}}=8.49 \times 10^{28} \text{m}^{-3} \] \[J=nev_d; \quad v_d=\dfrac{J}{ne}=\dfrac{i}{neA}=\dfrac{i}{ne \pi r^2} \\ =\dfrac{17 \times 10^{-3}}{(8.49 \times 10^{28})(1.6 \times 10^{-19})(2.54 \times 10^{-6})}=4.9 \times 10^{-7} \, \text{m/s} \] which is only 1.8 mm/h.
你可能會問：“如果電子漂移這麼慢，為什麼我一撥開關，房間裡的燈就亮得這麼快？” 在這個點上的混淆是由於沒有區分電子的漂移速度和電場沿導線傳播的速度。電子的漂移速度固然很小，但是電場傳播的速度接近於光速。電線中各處的電子幾乎同時開始漂移，包括進入燈泡的。類似地，當你打開花園軟管上的閥門，軟管裝滿水時，壓力波會沿著軟管以水中的聲速傳播。水本身通過軟管的速度可用染料測量標記，其結果當然比聲音在水中傳遞的速度慢得多。
半徑為 \(r = 900 \, \mu\)m 的銅線在均勻電流 \(i = 17\) mA 時，傳導電子的漂移速度是多少？ 假設每個銅原子對電流貢獻一個傳導電子，並且電流密度在導線的橫截面上是均勻的。
\[n=\dfrac{N}{V}=\dfrac{\dfrac{M_0}{M} N_A}{V}=\dfrac{N_A \rho_{mass}}{M}\] \[ n=\dfrac{(6.02 \times 10^{23})(8.96 \times 10^3)}{63.54 \times 10^{-3}}=8.49 \times 10^{28} \text{m}^{-3} \] \[J=nev_d; \quad v_d=\dfrac{J}{ne}=\dfrac{i}{neA}=\dfrac{i}{ne \pi r^2} \\ =\dfrac{17 \times 10^{-3}}{(8.49 \times 10^{28})(1.6 \times 10^{-19})(2.54 \times 10^{-6})}=4.9 \times 10^{-7} \, \text{m/s} \] which is only 1.8 mm/h.
你可能會問：“如果電子漂移這麼慢，為什麼我一撥開關，房間裡的燈就亮得這麼快？” 在這個點上的混淆是由於沒有區分電子的漂移速度和電場沿導線傳播的速度。電子的漂移速度固然很小，但是電場傳播的速度接近於光速。電線中各處的電子幾乎同時開始漂移，包括進入燈泡的。類似地，當你打開花園軟管上的閥門，軟管裝滿水時，壓力波會沿著軟管以水中的聲速傳播。水本身通過軟管的速度可用染料測量標記，其結果當然比聲音在水中傳遞的速度慢得多。
HL26示例問題-4：電阻的計算1
A rectangular block of iron has dimensions \(1.2 \,\text{cm} \times 1.2 \,\text{cm} \times 15 \,\text{cm} \). A potential difference is to be applied to the block between parallel sides and in such a way that those sides are equipotential surfaces (as in the figure(b)). What is the resistance of the block if the two parallel sides are (1) the square ends (with dimensions \(1.2 \,\text{cm} \times 1.2 \,\text{cm} \)) and (2) two rectangular sides (with dimensions 1.2 cm 15 cm)? 一塊矩形鐵塊的尺寸為 \(1.2 \,\text{cm} \times 1.2 \,\text{cm} \times 15 \,\text{cm} \)。 電位差將應用於平行邊之間的塊，並且這些邊是等電位表面（如圖（b）所示）。 如果兩個平行邊是（1）方形端（尺寸為 \(1.2 \,\text{cm} \times 1.2 \,\text{cm} \)）和（2）兩個，則塊的電阻是多少 矩形邊（尺寸為 1.2 厘米 15 厘米）？
\[A=(1.2 \times 10^{-2})^2=1.44 \times 10^{-4} \,\text{m}^2\] \[R=\dfrac{\rho L}{A}=\dfrac{(9.68 \times 10^{-8})(0.15)}{1.44 \times 10^{-4}} \\ =1.0 \times 10^{-4} \,\Omega\] \[R=\dfrac{\rho L}{A}=\dfrac{(9.68 \times 10^{-8})(1.2 \times 10^{-2})}{1.8 \times 10^{-3}} \\ =6.5 \times 10^{-7} \,\Omega\]
HL26示例問題-5：電阻的計算2
The figure shows a person and a cow, each a radial distance \(D = 60.0\) m from the point where lightning of current \(I = 100\) kA strikes the ground. The current spreads through the ground uniformly over a hemisphere centered on the strike point. The person's feet are separated by radial distance \(\Delta r_{per}= 0.50\) m; the cow's front and rear hooves are separated by radial distance \(\Delta r_{cow}= 1.50\) m. The resistivity of the ground is \(\rho_{gr}= 100 \, \Omega\)m. The resistance both across the person, between left and right feet, and across the cow, between front and rear hooves, is \(R= 4.00 k\Omega\). (a) What is the current \(i_p\) through the person? (b) What is the current \(i_c\) through the cow? 該圖顯示了一個人和一頭牛，每個人距離電流 \(I = 100\) kA 閃電擊中地面的點徑向距離 \(D = 60.0\) m。 電流在以撞擊點為中心的半球上均勻地穿過地面。 人的雙腳相距徑向距離 \(\Delta r_{per}= 0.50\) m； 牛的前後蹄之間的徑向距離為 \(\Delta r_{cow}= 1.50\) m。 大地電阻率為\(\rho_{gr}= 100 \, \Omega\)m。 整個人、左右腳之間以及牛前後蹄之間的阻力均為 \(R= 4.00 k\Omega\)。 (a) 通過這個人的電流 \(i_p\) 是多少？ (b) 通過奶牛的電流 \(i_c\) 是多少？
Because the lightning's current \(I\) spreads uniformly over a hemisphere in the ground, the current density at any given radius \(r\) from the strike point is,\[ J = i/A =\dfrac{I}{2 \pi r}; \quad 2 \pi r^2 \text{ is the area of the curved surface of a hemisphere} \] \[ J=\sigma E; \quad E=\rho_{\text{ground}} \] \[J=\dfrac{\rho_{\text{ground}} I}{2 \pi r^2} \] \[\Delta V = - \int \vec{E} \cdot d\vec{s}\] \[\Delta V = - \int_D^{D+\Delta r} \, E\, dr\] \[\Delta V = - \int_D^{D+\Delta r} \,\dfrac{\rho_{\text{ground}} I}{2 \pi r^2} \, dr \\ =-\dfrac{\rho_{\text{ground}} I}{2 \pi} \dfrac{\Delta r}{D(D+\Delta r)}\] \[i=\dfrac{V}{R}=\dfrac{\rho_{\text{ground}} I}{2 \pi} \dfrac{\Delta r}{D(D+\Delta r)} \dfrac{1}{R}\] \[ i_p=\dfrac{(100)(100 \times 10^3}{2 \pi} \dfrac{0.5}{60(60+0.5)} \dfrac{1}{4000} =0.0548 \, \text{A}\] \[ i_c=0.162 \, \text{A} \] The cow is in more danger from the ground current because of its greater value of \(\Delta r\). The cow is, of course, unable to reduce its danger by standing with its hooves together (which would be a bizarre sight). 由於 \(\Delta r\) 的值較大，奶牛受到接地電流的威脅更大。當然，母牛無法通過雙蹄站立來減少危險。
HL26示例問題-6：平均自由時間，平均距離的計算
(a) What is the mean free time \(\tau\) between collisions for the conduction electrons in copper? (b) The mean free path \(\lambda\) of the conduction electrons in a conductor is the average distance traveled by an electron between collisions. What is \(\lambda\) for the conduction electrons in copper, assuming that their effective speed \(v_{eff}\) is \(1.6 \times 10^6\) m/s?
(a) 銅中傳導電子碰撞之間的平均自由時間 \(\tau\) 是多少？ (b) 導體中傳導電子的平均自由程 \(\lambda\) 是電子在碰撞之間行進的平均距離。 假設銅中的傳導電子的有效速度 \(v_{eff}\) 為 \(1.6 \times 10^6\) m/s，那麼 \(\lambda\) 是多少？
(a)
\[\tau=\dfrac{m}{ne^2\rho}\] \[分母=8.49 \times 10^{28})(1.6 \times 10^{-19})^2 (1.69 \times 10^{-8} \\ =3.67 \times 10^{-17}\] \[ \tau=\dfrac{9.1 \times 10^{-31}}{3.67 \times 10^{-17}}=2.5 \times 10^{-14} \, \text{s} \] (b)
\[\lambda=v_{eff} \tau=(1.6 \times 10^6)(2.5 \times 10^{-14})=4.0 \times 10^{-8}=40 \, \text{nm}\] 這大約是銅晶格中最近鄰原子之間距離的 150 倍。因此，平均而言，每個傳導電子在最終撞擊一個銅原子之前會通過許多銅原子。
(a) 銅中傳導電子碰撞之間的平均自由時間 \(\tau\) 是多少？ (b) 導體中傳導電子的平均自由程 \(\lambda\) 是電子在碰撞之間行進的平均距離。 假設銅中的傳導電子的有效速度 \(v_{eff}\) 為 \(1.6 \times 10^6\) m/s，那麼 \(\lambda\) 是多少？
(a)
\[\tau=\dfrac{m}{ne^2\rho}\] \[分母=8.49 \times 10^{28})(1.6 \times 10^{-19})^2 (1.69 \times 10^{-8} \\ =3.67 \times 10^{-17}\] \[ \tau=\dfrac{9.1 \times 10^{-31}}{3.67 \times 10^{-17}}=2.5 \times 10^{-14} \, \text{s} \] (b)
\[\lambda=v_{eff} \tau=(1.6 \times 10^6)(2.5 \times 10^{-14})=4.0 \times 10^{-8}=40 \, \text{nm}\] 這大約是銅晶格中最近鄰原子之間距離的 150 倍。因此，平均而言，每個傳導電子在最終撞擊一個銅原子之前會通過許多銅原子。
HL26示例問題-7：能量消耗的功率的計算
You are given a length of uniform heating wire made of a nickel–chromium–iron alloy called Nichrome; it has a resistance \(R\) of 72 \(\Omega\). At what rate is energy dissipated in each of the following situations? (1) A potential difference of 120 V is applied across the full length of the wire. (2) The wire is cut in half, and a potential difference of 120 V is applied across the length of each half.
給你一段由鎳鉻鐵合金製成的均勻加熱絲，稱為鎳鉻合金； 它的電阻 \(R\) 為 72 \(\Omega\)。 在以下每種情況下，能量消耗的速率是多少？ (1) 導線全長施加 120 V 的電位差。 (2) 將導線切成兩半，在每一半的長度上施加 120 V 的電位差。
(2)
\[P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{120^2}{72}=200 \, \text{W}\](1)
\[P'=\dfrac{120^2}{36}=400 \, \text{W}\] \[ \text{for 2 halves: } P=2P'=800 \,\text{W}\]
給你一段由鎳鉻鐵合金製成的均勻加熱絲，稱為鎳鉻合金； 它的電阻 \(R\) 為 72 \(\Omega\)。 在以下每種情況下，能量消耗的速率是多少？ (1) 導線全長施加 120 V 的電位差。 (2) 將導線切成兩半，在每一半的長度上施加 120 V 的電位差。
\[P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{120^2}{72}=200 \, \text{W}\]
\[P'=\dfrac{120^2}{36}=400 \, \text{W}\] \[ \text{for 2 halves: } P=2P'=800 \,\text{W}\]
授課教師
陳永忠 ycchen@thu.edu.tw