馬克斯威方程式
在電磁學的發展歷史上先後發現了庫倫定律，Biot-Savart定律、法拉第定律。靜電場是保守場遵守電的高斯定律，靜磁場遵守安培定律以及磁的高斯定律。法拉第定律指出，隨時間改變的磁場會產生感應電場，假如電場和磁場都隨時間改變時，Maxwell從理論上發現安培定律必須加以修正。並且從修正後的方程式發現，電場與磁場作為空間與時間的函數，所滿足的方程式，恰好也要同時滿足波動方程式。因此他預測自然界應該存在電場和磁場的波動，稱呼為電磁波，並且從理論上的計算發現，這一個波動的傳遞速度是由電磁學的基本常數真空的介電常數\(\epsilon_0\)和磁導率\(\mu_0\)所決定，這個速度是\(3 \times 10^8\) m/s，也就是恰好就是光波傳遞的速度。因此Maxwell大膽的預測，光波其實他的本質就是電磁波，Maxwell從此將古典光學整合到古典電磁場理論，馬克斯威爾整理後的電磁學方程式現在被統稱為馬克斯威方程式(Maxwell Equations)。| Gauss' law for electricity | \(\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\! A}=\frac{q_\textrm{enc}}{\varepsilon_0}\) | Relates net electric flux to net enclosed electric charge |
| Gauss' law for magnetism | \(\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! A}=0 \) | Relates net magnetic flux to net enclosed magnetic charge |
| Faraday's law | \(\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\frac{d\Phi_B}{dt} \) | Relates induced electric field to changing magnetic flux |
| Ampere-Maxwell law | \(\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\mu_0 (i_\textrm{enc}+i_D) \) | Relates induced magnetic field to changing electric flux |
安培-馬克斯威爾定律
首先我們來探討Maxwell對磁場所要滿足的安培定律所做的重要修正，修正後的定律稱為安培-馬克斯威定律。我們知道安培定律說明電流是磁場的來源，如果選擇一個封閉的路徑沿著這個路徑(安培環)對磁場做線積分，積分的數值將會等於\(\mu_0 i_{enc}\)，於\(i_{enc}\) 是穿過這個環的曲面的電流總量： \[ \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\mu_0i_\textrm{enc} \]
馬克斯威爾發現對於一個充電中的電容而言，如圖所示，我們可以選擇兩個不同的曲面。針對同一個封閉的安培環路徑\(C\)，我們可以選擇兩個不同的曲面，由這個封閉的曲線為邊界我們可以選擇兩個不同的面\(S_1\)是一個平面，\(S_2\)是一個曲面，它包含著電容之間的區域。根據安培定律我們知道磁場的線積分只有唯一一個值，但它所對應到的通過曲面\(S_1\)的電流卻不等於通過\(S_2\)曲面的電流總量，因為\(S_2\)曲面包覆平板中間的區域，在平行板中間並無電流流動，因此通過\(S_2\)曲面的電流總量是0，與宇通過\(S_1\)的電流總量\(I\)不同。如果安培定律是對的，那麼這個實驗的結果就不一致了，這說明安培定律絕對不是一個完整的描述。 Maxwell嘗試要對安培定律做修正，試圖得到合乎邏輯的一致性。
他仔細觀察\(S_2\)曲面雖然沒有實質的電流通過，但是平行板在充電的過程當中兩個平行板上的電荷持續增加，平行板之間的電場也持續增加。雖然沒有實質的電流穿過\(S_2\)曲面，電場穿過\(S_2\)曲面的電通量持續增加，如果這個電通量的增加就等效於通過\(S_1\)曲面的實質電流，安培定律應該修正為除了實質流動的電荷之外，尚且考慮電場的電通量隨時間的改變率，因此它定義了一個等效的電流\(\varepsilon_0\frac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}\)來修正安培定律當中不足的部分，修正後的安培定律如下： \[ \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}+\mu_0i_\textrm{enc} \] 就像法拉第定律一樣磁通量的時變率不只是對導線環路內產生電動勢，即使環路不存在電線導線，我們可以預期在這個環路上仍有電場被感應生成，因為磁通量隨時間的改變而感應出電場，所以整體而言是一個變動的磁場產生電場的現象。Maxwell仔細觀察自然界的物理現象總是存在美妙的對稱性，如果變動的磁場可以感應電場，同樣地，變動的電場應該也可以感應生成磁場。馬克斯威爾修正後的安培定律：空間中即使沒有實質的導線電流存在，然而平行電板之間變動的電場，在空間中會有感應的磁場產生，這就是廣義安培-馬克斯威爾定律的重大意義。
位移電流
馬克斯威爾將非實質的流動的電流稱為位移電流(displacement current. \(i_D\))， \[ i_D=\varepsilon_0 \dfrac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t} \] 同學們可以很快的檢驗位移電流的物理單位，確實與單位時間內所流過的電荷量(安培)的單位是一樣的。接著我們用平行帶電金屬板的基本性質，來證明這兩種電流的大小確實是相同的。對於平行電板而言，在充電的過程當中，流向兩個平行板的電流與板子上電荷的變化量有關(\(i=\dfrac{\text{d}Q}{\text{d}t}\))，而板子上的帶電量\(Q\)又與平行板之間的電場\(E\)大小有關其公式如下： \[V=\frac{Q}{C}; \Rightarrow Ed=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A/d} \] \[ Q=\varepsilon_0 EA=\varepsilon_0 \Phi_E \] 我們把上面這個式子的兩邊取時間的微分，可以得到電通量對時間的微分正比於導線中流動的電流，比例常數就是\(\varepsilon_0\)。因此位移電流的大小與導線中流動的實質電流大小相等， \[i_D=\varepsilon_0 \dfrac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}=\dfrac{\text{d}Q}{\text{d}t}=i\] 因此無論選擇哪一個曲面，做安培定律的計算會得到的磁場路徑積分，其結果相同。電場和磁場是自然界當中非常基本的性質，法拉第定律和安培-馬克斯威爾定律，敘述了磁場和電場的動力學行為，也就是當磁場和電場隨時間改變的時候，會感應出電場和磁場，這樣的動力學行為再加上另外兩個定律，會導致電磁波的存在。Maxwell的電磁波理論和後續Hertz的實驗證明，對人類的科技影響非常的大，我們可以大膽的說如果沒有電磁波就沒有現代科技。19世紀末到20世紀初，電磁學、電磁波和光學被整合為一個統一的理論，而促成這個偉大成就的科學家就是英國的Maxwell。 例題：LC circuit:
Use the Ampere-Maxwell law to find the magnetic field between the circular plates of a parallel-plate capacitor that is charging. The radius of the plates is \(R\). \[\oint \vec{B} \cdot d\vec{s}=B(2\pi r)\] \[\Phi_E=E(\pi r^2); \quad \dfrac{d\Phi_E}{dt}=(\pi r^2)\dfrac{dE}{dt}\] \[\oint \vec{B} \cdot d\vec{s}=\mu_0 i_D=\mu_0 (\varepsilon_0 \dfrac{d\Phi_E}{dt})=\mu_0\varepsilon_0(\pi r^2)\dfrac{dE}{dt}=B(2\pi r)\] \[B=\dfrac{1}{2}\mu_0\varepsilon_0(\dfrac{dE}{dt})r\] 這個結果顯示，雖然沒有實質的電流在平行板之間流動，但是電通量的變化造成了等效的位移電流，而這個"電流"產生的磁場與實質的電流有異曲同工之效，就像是一個均勻的電流內部的磁場大小與距離成正比：\(B \propto r\)。
下面我們來說明如何從馬克斯威爾方程式得到電磁波的概念。
電磁學的四個基本定律可以用四個方程式表示，其分別如下：
- 電的高斯定律： \(\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\! A}=\frac{q_\textrm{enc}}{\varepsilon_0}\)。
- 磁的高斯定律：\(\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! A}=0 \)。
- 法拉第定律安培： \(\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\frac{d\Phi_B}{dt} \)。
- 安培-馬克斯威爾定律：\(\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}+\mu_0i_\textrm{enc} \)。
上面將四個定律以積分的形式來表達，同學們在大二的應用數學或工程數學課當中就會學到，這四個方程式也可以用微分的形式來表達。但是因為電場跟磁場都是向量，把向量用微分形式表達，這是所謂向量微分的內容。其中有所謂的向量場的散度和向量場的旋度等算符運算，馬克斯威爾的微分形式如下：
\[
\begin{align}
\vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
\vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 \\
\vec{\nabla} \times \vec{E} &= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\
\vec{\nabla} \times \vec{B} &= \mu_0 \vec{j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{align}
\]
\(\vec{\nabla}\)向量微分算符的定義為\(\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{k} \)。
透過這些向量算符的基本數學關係，可以證明在自由空間中，\(\rho=0, \vec{j}=0\)，電場與磁場都要滿足的方程式可簡化為： \[ \begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &= \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{align} \]
再利用下列的向量微分算符的等式，可以推導電場必然滿足波動方程式： \[ \begin{align} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A} ) &=\vec{\nabla} (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} \\ \nabla^2 \vec{E} &= \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E} \end{align} \] \(\epsilon_0 \mu_0=\dfrac{1}{v^2}\)，\(v\)即為波動方程式中的波速。
透過這些向量算符的基本數學關係，可以證明在自由空間中，\(\rho=0, \vec{j}=0\)，電場與磁場都要滿足的方程式可簡化為： \[ \begin{align} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} &= 0 \\ \vec{\nabla} \cdot \vec{B} &= 0 \\ \vec{\nabla} \times \vec{E} &= - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \vec{\nabla} \times \vec{B} &= \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{align} \]
再利用下列的向量微分算符的等式，可以推導電場必然滿足波動方程式： \[ \begin{align} \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A} ) &=\vec{\nabla} (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla^2 \vec{A} \\ \nabla^2 \vec{E} &= \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E} \end{align} \] \(\epsilon_0 \mu_0=\dfrac{1}{v^2}\)，\(v\)即為波動方程式中的波速。
電磁波的波動方程式
下面我們簡易的來說明，如何從馬克斯威爾的4個電磁學方程式，可以推導出電場和磁場作為一個空間和時間的函數，必然要滿足波動方程式。換言之，電場跟磁場必然可以形成傳遞的波動，就是馬克斯威爾所稱的電磁波。
在右圖當中我們選擇的一個長方形的封閉迴路，我們可以針對這個封閉的迴路來考慮法拉第定律：對這個矩形做感應電場的路徑積分，會等於磁通量對時間的微分：法拉第定律安培： \(\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\frac{d\Phi_B}{dt} \)
感應電場的路徑積分只有沿著與y軸平行的路徑有積分的貢獻，因為電場在y軸方向，沿著與x軸的平行路徑積分的貢獻是0。假設在位置\(x\)與\(x+\text{d}x\)的電場有微量的變化\(E \rightarrow E+\text{d}E\)。因此感應電場的路徑積分為 \[\oint \overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{\! s}=(E+\text{d}E)h-Eh=h\text{d}E\] 對於磁通量而言，磁場在\(+y\)的方向，因此磁通量為 \[\Phi_B=Bh\text{d}x\] 考慮磁通量對時間的微分可以得到 \[\dfrac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}=h\text{d}x\dfrac{\text{d}B}{dt}\] 因此法拉第定律連結電場的路徑積分和磁通量的時間微分可以得到： \[\oint \overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{\! s}=\frac{\text{d}\Phi_B}{\text{d}t}\] \[ h\text{d}E=-h\text{d}x\dfrac{\text{d}B}{\text{d}t} \] \[\dfrac{\text{d}E}{\text{d}x}=-\dfrac{\text{d}B}{\text{d}t}\] 下面公司雖然在這個公司當中我們是對電場在空間\(x\)方向的微分，磁場做時間\(t\)的微分，但事實上當我們進行這些運算的時候，滿足偏微分的條件，也就是所有其他的變數都保持不變的情況下，考慮電場與磁場的微量變化。因此我們可以把上面的公式所使用的常微分(\(\text{d}x,\, \text{d}t\))改成偏微分得到如下的公式： \[\dfrac{\partial E}{\partial x}=-\dfrac{\partial B}{\partial t} \tag{11.1} \]
接著我們在用右圖中的長方形來考慮安培-馬克斯威爾定律：安培-馬克斯威爾定律：\(\oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}+\mu_0i_\textrm{enc} \)。
在我們現在考慮的問題當中並沒有真實的電荷流動，\(i_\textrm{enc}=0\)。針對這個長方形我們來計算磁場的路徑積分，磁場的方向在\(+z\)方向，因此只有這個方向上的路徑積分有貢獻： \[\oint \overrightarrow{B}\cdot \text{d}\overrightarrow{\! s}=(B+\text{d}B)h-Bh=h\text{d}B\] 注意右手定則和積分的路徑方向，使得上面的公式有一個負號出現。電場的電通量： \[\Phi_E=Eh\text{d}x\] 考慮電通量對時間的微分可以得到 \[\dfrac{\text{d}\Phi_E}{\text{d}t}=h\text{d}x\dfrac{\text{d}E}{\text{d}t} \] 與前面的計算類似，用安培-馬克斯威爾定律連結上面兩個方程式，我們可以立刻得到，磁場的空間微分與電場的時間微分的關係式，
\[ \oint \overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{\! s}=\mu_0\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\] \[ h\text{d}B=\mu_0\varepsilon_0 h\text{d}x \dfrac{\text{d}E}{dt}\] \[ \dfrac{\text{d}B}{\text{d}x}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\text{d}E}{\text{d}t} \] \[ \dfrac{\partial B}{\partial x}=\mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial E}{\partial t} \tag{11.2} \] 利用這兩個式子我們可以得到波動方程式:
\[\dfrac{\partial E}{\partial x}=-\dfrac{\partial B}{\partial t} \tag{11.1}\]
\[\dfrac{\partial B}{\partial x}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial E}{\partial t} \tag{11.2} \]
\[\dfrac{\partial^2 E}{\partial x^2}=\mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial^2 E}{\partial t^2}=\dfrac{1}{v^2} \dfrac{\partial^2 E}{\partial t^2} \tag{11.3} \]
\[v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}=\dfrac{1}{\sqrt{(4\pi \times 10^{-7})(8.85 \times 10^{-12})}}=3 \times 10^8 \text{m/s}\tag{11.4}\]
既然電場和磁場在自由空間中會有波動的形式存在，讓我們來考慮最簡單的波動函數三角函數波。假設電場沿著\(x\)方向做正弦函數振盪，磁場是在\(y\)軸上一樣做正弦波的振盪(從法拉第定律和安培-Maxwell定律，我們知道電場和磁場在兩個互相垂直的方向上振動)，如此振盪電磁波沿著\(+z\)方向傳遞。電場和磁場的函數行為可分別寫成下面兩個向量函數：
\[ \begin{align} \vec{E} &=E_0 \sin(kz - \omega t) \hat{i} \\ \vec{B} &=B_0 \sin(kz - \omega t) \hat{j} \end{align} \] 在上個學期的波動單元中，我們已經學到正弦波當中的振幅(\(E_0, \, B_0\))，波長(\(\lambda\))，波數(\(k\))，角頻率(\(\omega\))，頻率(\(f\))，週期(\(T\))，波速度(\(v\))的基本關係： \[v=\lambda f； \,\, \lambda=\frac{2\pi}{k}；\,\, f= \dfrac{\omega}{2\pi} \,\, v=\dfrac{\omega}{k}\] 馬克斯威爾方程式與波動方程式推導出電磁波傳遞的速度： \[ v=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\] 其中\(\epsilon_0=8.85 \times 10^{-12}, \mu_0=4\pi \times 10^{-7} \)這兩個常數都是電學和磁學的基本常數，將這兩個基本常數代入公式中，得到速度為\(v=3 \times 10^8\) m/s，也就是光速。電磁波傳遞的速度竟然跟實驗上所量到的光速(\(c\))一致，這使得馬克斯威爾很快就得到下面的結論：
\[光波也是電磁波，電磁波在真空中就可以傳播，不需要介質，而傳播的速度就是光波的速度。\] 這就是馬克斯威爾在科學上的偉大成就。
自從1801年，Thomas Young做了光的雙狹縫實驗之後，證實了光是一種波動現象，但是光波作為一種波動現象，我們卻始終不知道這個波在傳遞什麼物理性質？現在基於馬克斯威爾的電磁波理論，我們終於瞭解到光波傳遞的其實就是電場和磁場。電場和磁場可以存在於真空之中，因此電磁波也可以在真空中傳遞，這種不需要介質就能傳遞的波動不是一般的力學波，科學上稱呼為非力學波(non-mechanical wave)，重力波也是非力學波。
但光也可以在介質中傳遞，因為介質中一樣可以存在電場和磁場，例如水和玻璃。我們知道光在介質中傳播的速度會比在真空中慢，透過速度的比較我們可以決定介質的折射率。現在透過馬克斯威爾的電磁波理論我們可以對折射率的微觀性質做推導，因為在介質中光波傳遞的速度應該要用介質相對磁導率和介質的介電常數來取代。因為光所能傳遞的介質大都是非磁性介質，所以相對磁導率幾乎是1，因此折射率只和介質的介電常數\(\kappa\)有關，所以一個有多種波長的光源和電磁波在介質中傳遞時，各種波長的波速不同，因此會有色散現象。這個現像不只是光波會發生，對於廣義的電磁波也會在介質中發生色散現象。因此一個波列在行進的過程中，其波形會產生變形。
另外我們知道電磁波會受到導電粒子的影響，因此當電磁波遇到金屬或介電質時，電磁波的傳播會有衰減的現象。進入介質越深，電磁波的電場和磁場強度就衰減越多，而且衰減的幅度和頻率有關，頻率越高衰減越大。正因為電磁波在海水中有衰減的現象，通常在岸上無法使用無線電波通訊和潛水潛入海水中的潛水伕和潛水艇取得聯繫。在地表的上空50到1000公里處有電離層，電離層中的電子和其他的導電粒子的存在，將影響電磁波的傳播。地表上空也有磁場存在，時常也會影響電磁波的傳播。電離層加上地球磁場的雙重效應，使電磁波在地表上空的傳播更為複雜而有趣，只有頻率超過大約60 MHz的電磁波可以通過電離層進入太空中，因此和環繞地球的太空船或進入太空中的衛星探測船通訊時，通常都使用微波頻率。越低的電磁波會被電離層反射而折回地球，短波無線電通常就利用這種方式做超越地平線的傳播。
地球大氣層最下面的一層是對流層，它從地面延伸到約10公里的高處。10公里以上為平流層，再向上為中間層。在約80公里以上的增溫層大氣已經非常稀薄，在這裡陽光中的紫外線和X射線可以使得空氣分子電離，自由的電子在與正電荷的離子合併前可以短暫地自由活動，這樣在這個高度造成電漿體。在這裡自由電子的數量足以影響電波的傳播。
在電離層中陽光電離大氣分子與離子重新捕獲自由電子的過程平衡。一般來說高度越高，大氣越稀薄，則電離過程越占上風。不過電離層的特性還受到許多其它因素的影響。
電離過程的主力是太陽活動。電離層內電離度主要由獲得的太陽輻射所影響。因此電離層隨周日和季節（冬季陽光入射角度較低，因此受到的輻射比較少）而變化。太陽活動主要隨太陽黑子周期而變化。一般來說太陽表面黑子越多，太陽活動越強烈。除此以外隨地球表面緯度的不同當地受到的太陽輻射強度也不同。耀斑和太陽風中的帶電粒子可以與地球磁場相互作用，導致對電離層的擾亂。
電磁波的能量
電磁波的能量包含電場能量和磁場能量兩部分，單位體積內的電場能量為\[u_E=1/2 \epsilon_0 E^2.\]單位體積內的磁場能量為\[u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}.\]因此單位體積的電磁波能量或稱電磁波能量密度為\[u=u_E + u_B=1/2 \epsilon_0 E^2+ \frac{B^2}{2\mu}\] 平面電磁波電場與磁場的強度之間存在的關係：\[\dfrac{E_0}{B_0}=c=\dfrac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\] 因此電場與磁場的關係：\[B=\dfrac{E}{c}\]磁場能量密度得到： \[u_B=\dfrac{B^2}{2\mu_0}=\dfrac{E^2}{2\mu_0 c^2}=\dfrac{\epsilon_0 E^2}{2}=u_E\] 電場能量密度與磁場的能量密度相等，因此電場與磁場的能量密度各佔平面電磁波能量密度的一半： \[u=\epsilon_0 E^2=\dfrac{B^2}{\mu_0}=\dfrac{EB}{\mu_0 \epsilon_0}.\]Poynting vector
最能描述電磁波能量傳輸的是Poynting vector，\(\vec{S}\)，我們希望能夠將\(\vec{S}\)向量定義為單位時間內通過單位面積的電磁波能量，並且向量的方向就是電磁波傳遞的方向。以平面電磁波為例，考慮一個圓柱形體積，圓柱軸的方向取為平行於波的傳播方向，圓柱體的面積取為A，長度取為\(c \Delta t\)，\( \Delta t\)為電磁波從一端面傳至另一端面所需的時間。圓柱內所儲存的電磁波能量為\[U=(u A c \Delta t)\] 此能量在\( \Delta t\)的時間內通過一端面(A)，因此\(\vec{S}\)向量的量值：\[S=\dfrac{U}{A \Delta t}=u c=\dfrac{EB}{\mu_0 c}c=\dfrac{EB}{\mu_0}\]因此我們定義：\[\vec{S}=\dfrac{\vec{E} \times \vec{B}}{\mu_0}\]
這樣定義的向量\(\vec{S}\)其大小和方向，都與我們上面討論的電磁波能量的傳遞一致。
\(S\)的大小是電磁波的強度，即其穿過垂直於傳播方向的單位區域的瞬時功率。 \(S\)的方向是能量流動的方向。在電磁波中，\(S\)的大小在時間上迅速振動，因此在實際應用上，更有用的物理量是波的平均強度。在空間中的任何點（例如，x = 0），\(E(t)B(t)\)的平均值
\(E_0 B_0 \sin^2(\omega t) \)。\(\sin^2(\omega t)\)在一個週期的平均值為1/2。因此，平均強度是
\[S_{av} = u_{av} c = \dfrac{E_0 B_0}{2\mu_0} \]
其單位是W/m，\(S_{av}\)是每單位區域與入射電磁波傳播方向垂直的平均功率。平面波的平均強度在傳播時不會減少，球面波則隨著距離的平方反比而逐漸減小。例題：light intensity from a distance star:
When you look at the North Star (Polaris), you intercept light from a star at a distance of 431 ly and emitting energy at a rate of \(2.2 \times 10^3\) times that of our Sun(\(P_{sun}=3.90 \times 10^{26} \text{W}\)). Neglecting any atmospheric absorption, find the rms values of the electric and magnetic fields when the starlight reaches you.
The rms value of the electric field in light is related to the intensity \(I\) of the light : \[I=\dfrac{E_{rms}^2}{c \mu_0}.\] The intensity at a diatance \(r\) from the star is related to the power of the star: \[I=\dfrac{P_s}{4 \pi r^2}=\dfrac{E_{rms}^2}{c \mu_0}\] \[E_{rms}=\sqrt{\dfrac{P_s c \mu_0}{4 \pi r^2}}.\] \[Ps=(2.2 \times 10^3)P_{sun}; \quad r=431 \,\text{ly}=4.08 \times 10^{18} \,\text{m}\] \[E_{rms}=1.24 \times 10^{-3}\] \[B_{rms}=\dfrac{1.24 \times 10^{-3}}{3 \times 10^8}=4.1 \times 10^{-12} \,\text{T}.\] 請注意，\(E_{rms}\) 按照普通實驗室標準判斷是很小的，但 \(B_{rms}\) 更小。這種差異有助於解釋為什麼大多數用於檢測和測量電磁波的儀器都設計為偵測因電場強度而產生的響應。然而，說電磁波的電分量比磁分量“強”是錯誤的。你無法比較以不同單位測量的量。正如我們所看到的，就波的傳播而言，電和磁分量是相等的，因為它們的平均能量可以比較，是相等的。
The rms value of the electric field in light is related to the intensity \(I\) of the light : \[I=\dfrac{E_{rms}^2}{c \mu_0}.\] The intensity at a diatance \(r\) from the star is related to the power of the star: \[I=\dfrac{P_s}{4 \pi r^2}=\dfrac{E_{rms}^2}{c \mu_0}\] \[E_{rms}=\sqrt{\dfrac{P_s c \mu_0}{4 \pi r^2}}.\] \[Ps=(2.2 \times 10^3)P_{sun}; \quad r=431 \,\text{ly}=4.08 \times 10^{18} \,\text{m}\] \[E_{rms}=1.24 \times 10^{-3}\] \[B_{rms}=\dfrac{1.24 \times 10^{-3}}{3 \times 10^8}=4.1 \times 10^{-12} \,\text{T}.\] 請注意，\(E_{rms}\) 按照普通實驗室標準判斷是很小的，但 \(B_{rms}\) 更小。這種差異有助於解釋為什麼大多數用於檢測和測量電磁波的儀器都設計為偵測因電場強度而產生的響應。然而，說電磁波的電分量比磁分量“強”是錯誤的。你無法比較以不同單位測量的量。正如我們所看到的，就波的傳播而言，電和磁分量是相等的，因為它們的平均能量可以比較，是相等的。
例題：A radio wave transmission:
A radio station transmits a 20-kW signal at a frequency of 100 MHz. For simplicity, assume that it radiates as a point source. At a distance of 1 km from the antenna, find: (a) the amplitudes of the electric and magnetic field strengths, and (b) the energy incident normally on a square plate of side 10 cm in 1 min.
(a) The energy of waves emitted by a point source spreads over ever-expanding spheres. The surface area of a sphere of radius \(r\) is \(4 \pi r^2\), so the intensity of the waves at a distance \(r\) is \[S_{av}=\dfrac{\text{Avergae power}}{4 \pi r^2}==\dfrac{E_0^2}{2 \mu_0 c} \Rightarrow E_0=1.096; \quad B_0=E_0/c =3.65 \times 10^{-9}\] (b)the energy incident normally on an area A in time \(\Delta t\) is \[U=S_{av} A \Delta t=\dfrac{2 \times 10^4}{(4 \pi)(1000^2)} (0.1^2)(60)=0.96 \times 10^{-3} \,\text{J}\]
(a) The energy of waves emitted by a point source spreads over ever-expanding spheres. The surface area of a sphere of radius \(r\) is \(4 \pi r^2\), so the intensity of the waves at a distance \(r\) is \[S_{av}=\dfrac{\text{Avergae power}}{4 \pi r^2}==\dfrac{E_0^2}{2 \mu_0 c} \Rightarrow E_0=1.096; \quad B_0=E_0/c =3.65 \times 10^{-9}\] (b)the energy incident normally on an area A in time \(\Delta t\) is \[U=S_{av} A \Delta t=\dfrac{2 \times 10^4}{(4 \pi)(1000^2)} (0.1^2)(60)=0.96 \times 10^{-3} \,\text{J}\]
動量和輻射壓力
電磁波除了傳的能量之外，也傳遞動量，動量隨時間改變時，就會造成力量。因此電磁波打在一個面上，會給這個面壓力，我們稱為輻射壓力。下面我們只是定性的介紹電磁波的動量和輻射壓力，並非嚴格的證明。電磁波攜帶的線性動量乃根據 \[p = \dfrac{U}{c} \] 與能量有關。如果波在垂直於表面的方向上入射，並且完全吸收，則\(p = \dfrac{U}{c} \)給出撞擊表面電磁波的線性動量。如果表面完全反射，波的動量改變量\(\Delta p\)加倍。因此，賦予表面的動量也加倍，即\(p=2U/c\)。 在表面上電磁波施加的力與Poynting向量有關。如果我們使用 \[f=\dfrac{\Delta p}{\Delta t} =\dfrac{1}{c}\dfrac{\Delta U}{\Delta t} \] \[\dfrac{\Delta U}{\Delta t}=SA \] \[f=SA/c\] 輻射壓力 \(P=f/A\): \[P=\dfrac{f}{A}=\dfrac{S}{c}=u\] 輻射壓力等於能量密度\(u\)(單位：N/m2=J/m3)。在完美的反射表面處，表面上的壓力加倍\(P=2u\)。授課教師
陳永忠 ycchen@thu.edu.tw